保護している犬を里親に出すのですが、飼い主の引き継ぎはできますか？

はい、飼い主の引き継ぎは可能です。
マイページから、「愛犬情報ページ」をタップし、「愛犬情報」ページをスクロールした一番下に、「飼い主変更」ボタンがあります。このボタンをタップして、飼い主引継ぎページにて、新しい飼い主さんのメールアドレスをして「送信する」ボタンをタップします。新しい飼い主さんにはメールが届きますので、メール内のリンクをタップし、ユーザー登録を行い、引き継ぎを行います。